Question

已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)的导数=-f(ξ)/ξ

RT
请详细作答，谢谢

Answer 1

证明:
设G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) ，f(ξ)的原函数为F(ξ)+C
则G(ξ)=f(ξ)*ξ+F(ξ)+C
因为 G（0）=F(ξ)+C G（1）=F(ξ)+C 所以G（0）=G（1）
所以 G（x）满足罗尔定理的条件
故，在( 0， 1 ) 存在一点ξ，使 G'(ξ)=0
所以G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) =0， 即 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Answer 2

考虑函数F(x)=x*f(x)，F(1)=0,F(0)=0,对F(x)用罗尔定理即可。

Answer 3

令g(x)=xf(x) 则g(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导 ，且g（1）=0=g(0) 由罗尔中值定理 知有一点a属于（0，1） 使得 g`(a)=0 0=g`(a)=f(a) af`(a) 即f`(a)=-f（a）/a。

这才是正确答案！！！

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