Question

求解微分方程

y'=C1*sqrt(C2+y^2)/y，其中C1、C2是常数，自变量是x，虽然没有出现……
刚开始自学微分方程，发现这个方程和高数中的前面的几个简单的类型都不太一样……希望能给予指导……

Answer 1

解：1。∵(1+y²sin2x)dx-ycos2xdy=0

==>2(1+y²sin2x)dx-2ycos2xdy=0

==>2dx-y²d(cos(2x))-cos(2x)d(y²)=0

==>d(y²cos(2x))=2dx

==>y²cos(2x)=2x+C (C是积分常数)

∴原微分方程的通解是y²cos(2x)=2x+C (C是积分常数)

2。设x=u-2,y=uv-3.则u=x+2,v=(y+3)/(x+2),dx=du,dy=udv+vdu

代入原方程整理得(udv+vdu)/du=(v-1)/(v+1)

==>udv/du=-(1+v²)/(v+1)

==>(v+1)dv/(1+v²)=-du/u

==>ln(1+v²)/2+arctanv=-ln│u│+ln│C│/2 (C是积分常数)

==>u²(1+v²)=Ce^(-2arctanv)

==>(x+2)²+(y+3)²=Ce^(-2arctan((y+3)/(x+2)))

故原微分方程的通解是(x+2)²+(y+3)²=Ce^(-2arctan((y+3)/(x+2))) (C是积分常数)

3。 设y=xt.则dy=xdt+tdx

∵x(lnx-lny)dy-ydx=0

==>ln(y/x)dy+(y/x)dx=0

==>lnt(xdt+tdx)+tdx=0

==>xlntdt+t(lnt+1)dx=0

==>lntdt/(t(lnt+1))=-dx/x

==>lntd(lnt)/(lnt+1)=-dx/x

==>lnt-ln│lnt+1│=-ln│x│-ln│C│ (C是积分常数)

==>t/(lnt+1)=1/(Cx)

==>y=xe^(Cy-1) (把y=xt代换，并整理)

∴原微分方程的通解是y=xe^(Cy-1) (C是积分常数)

4。 设x=yt.则dx=ydt+tdy

∵(1+2e^(x/y))dx+2e^(x/y)(1-x/y)dy=0

==>(1+2e^t)(ydt+tdy)+2e^t(1-t)dy=0

==>y(1+2e^t)dt+(t+2e^t)dy=0

==>(1+2e^t)dt/(t+2e^t)=-dy/y

==>d(t+2e^t)/(t+2e^t)=-dy/y

==>ln│t+2e^t│=-ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)

==>t+2e^t=C/y

==x/y+2e^(x/y)=C/y

==>2ye^(x/y)+x=C

∴原微分方程的通解是2ye^(x/y)+x=C (C是积分常数)

5。∵原方程的齐次方程的特征方程是r²+1=0.则它的特征根是r=±i

∴此特征方程的通解是y=C1sinx+C2cosx (C1,C2是积分常数)

设原微分方程的特解是y=Ax+Bsin(2x)

∵y'=A+2Bcos(2x),y''=-4Bsin(2x)

代入原方程得Ax-3Bsin(2x)=x+3sin(2x)

比较同次幂系数，得A=1,B=-1

∴原微分方程的特解是y=x-sin(2x)

故原微分方程的通解是y=C1sinx+C2cosx+x-sin(2x) (C1,C2是积分常数)

6。∵xy〃+(x²-1)(y'-1)=0

==>xd(y')+(x²-1)(y'-1)dx=0

==>d(y')/(y'-1)=(1/x-x)dx

==>ln│y'-1│=ln│x│-x²/2+ln│C1│ (C1是积分常数)

==>y'=1+C1xe^(-x²/2)

==>y=x-C1e^(-x²/2)+C2 (C2是积分常数)

∴原微分方程的通解是y=x-C1e^(-x²/2)+C2 (C1,C2是积分常数)

Answer 2