Question

已知:二次函数y=x^2-4x+m的图像与x轴交于不同的两点A(x1,0)(x2,0),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D

已知:二次函数y=x^2-4x+m的图像与x轴交于不同的两点A(x1,0)(x2,0),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D。（1）求实数m的取值范围（2)如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式（3）把（2）中所得的二次函数的图像沿y轴上下平移，如果评议后的函数图像与x轴交于点A1。B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图像的函数解析式

Answer 1

y=x^2-4x+m 函数对称轴为x=2 所以(x1+x2)/2=2
(1)保证函数有根，用判别式，可求得m<4
(2)由(x1+x2)/2=2，（x1+1）（x2+1）=8，可求得x=1 x=3，所以求得m=3
即 y=x^2-4x+3
(3)对称轴为x=2，c(2，-1)设平移b个单位
则 y=x^2-4x+3+b C1（2，-1+b）
根据勾股关系得出 (-1+b)/（x1-x2）的绝对值=(根号3)/2
又 x1x2=3+b ,x1+x2=4 所以（x1-x2）^2= 4 - 4b
解得 b=-2或1
代入函数，b=1时，无根 ，不适合
当b=-2时， y=x^2-4x+1 ，原函数图像向下平移2个单位可得

Answer 2

(1)、△=16-4m>0,m<4
(2)、(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=8,由根与系数的关系，得x1+x2=4,x1x2=m
代入解得m=3，所以解析式为y=x^2-4x+3
(3)、y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1,设平移后的解析式为y==(x-2)^2-1+m
所以c1(2,m-1),令y=0,的X1= -√（1-m）+2,x2=√(1-m)+2,所以A1=( -√（1-m）+2,0)
B1=(√(1-m)+2,0),所以A1B1=2√(1-m)，B1C1=√(（√(1-m)+2-2）^2+（m-1）^2)=A1B1
代入解得m1=1,m2=-2