求解函数解析式的几种方法及例题
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重难点归纳
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;
2换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
3消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
典型题例示范讲解
例1(1)已知函数f(x)满足f(logax)=(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求�f(x)�的表达式
命题意图本题主要考查函数概念中的三要素定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力
知识依托利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义域
错解分析本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错
技巧与方法(1)用换元法;(2)用待定系数法
解(1)令t=logax(a1,t0;0<a<1,t<0),则x=at
因此f(t)=(at-a-t)
∴f(x)=(ax-a-x)(a1,x0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c得并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1,
所以所求函数为
f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1
或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1
例2设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象
命题意图本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法,对分段函数的分析需要较强的思维能力因此,分段函数是今后高考的热点题型
知识依托函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线
错解分析本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式解(1)
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求解函数解析式的几种常用方法主要有
1待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;
2换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
3消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
典型题例示范讲解
例1(1)已知函数f(x)满足f(logax)=(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求�f(x)�的表达式
命题意图本题主要考查函数概念中的三要素定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力
知识依托利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义域
错解分析本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错
技巧与方法(1)用换元法;(2)用待定系数法
解(1)令t=logax(a1,t0;0<a<1,t<0),则x=at
因此f(t)=(at-a-t)
∴f(x)=(ax-a-x)(a1,x0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c得并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1,
所以所求函数为
f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1
或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1
例2设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象
命题意图本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法,对分段函数的分析需要较强的思维能力因此,分段函数是今后高考的热点题型
知识依托函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线
错解分析本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式解(1)
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