Question

求解函数解析式的几种方法及例题

Answer 1

重难点归纳

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1
待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2
换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3
消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法

典型题例示范讲解

例1(1)已知函数f(x)满足f(logax)=
(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求�f(x)�的表达式

命题意图
本题主要考查函数概念中的三要素
定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力

知识依托
利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域

错解分析
本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错

技巧与方法
(1)用换元法；(2)用待定系数法

解
(1)令t=logax(a1,t0;0<a<1,t<0),则x=at

因此f(t)=
(at－a－t)
∴f(x)=
(ax－a－x)(a1,x0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c得
并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，
所以所求函数为

f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1
或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1

例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象

命题意图
本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力
因此，分段函数是今后高考的热点题型

知识依托
函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线

错解分析
本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱
技巧与方法
合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式
解
(1)
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