Question

离散数学中集合和关系我知道是什么，但是集合的平方和关系的平方是个什么意思？谁能将它解释的简单一点

Answer 1

平方，也就是 2 次方，是乘方运算的一种特殊情况，也就是【2 个自身“相乘”】。即：乘方运算，是根据乘法运算定义的。对于“数”而言，平方是一种运算；对“集合”和“关系”而言，也是如此。它们的区别，就在于定义乘方所依据的“乘法”。

（1）集合的“乘法”：
涉及到【二元组】的概念（或称序偶），即形如 <a, b> 这样的数对（当然，a、b可以是数，也可以是任何其他对象）。
对于两个集合A、B，分别从A、B中任选一个元素a，b，就可组成一个二元组<a, b>；如果把A、B中的每一个元素，都任意进行配对，得到的所有二元组所构成的集合，就是A、B相乘的结果：A×B，叫做【笛卡尔积】。
有了乘法，自然就可定义乘方了：A² = A×A。

举个例子：数轴上的点，都对应一个实数；平面坐标系中的点，都对应一个坐标。其实，坐标就是一个二元组（x，y）：x来自横轴；y来自纵轴。而横轴和纵轴，都对应实数集R。所以，平面坐标系就可表示为：R×R，也就是 R²。

（2）关系的“乘法”：
首先，关系本身也是集合。所以，任何关系都可以进行集合的乘法运算，也就是笛卡尔积，其规则就如（1）中所述。——如果你所说的关系的平方就是指这个，那后面的就不用看了。

不过，关系是一种特殊的集合，因此它引出了一种特殊的“乘法”运算——关系的复合。
与（1）类似，首先要定义“乘法”，也就是“关系的复合”；然后，平方的定义就很简单了：关系的平方，就是关系到自身的复合。
至于复合的定义，没必要在这里跟你说了，你可以自己看书去。只是提醒你一点：

鉴于关系本身也是集合，如果用同样的符号表示关系的乘方，那势必会产生歧义，所以数学上对关系特有的“乘法”和“乘方”——关系的复合——规定了新的符号：
R o S ：关系 R 和 S 的复合；
S o S = S ^ (2) ：关系 S 到自身的2次复合，即 S 的“平方”；（“指数”2 需要用括号括起来）
作为对比，S 作为集合进行的笛卡尔积表示为：
S × S = S ^ 2 = S²。

（其实，对于关系的复合，我们已不再称其为关系的“乘法”或“乘方”，而是称其为“R与S的复合”或“S到自身的n次复合”。只是因为这两种运算的表示，和乘法与乘方很相似，所以才在一些非正式场合这样称呼。集合的笛卡尔积倒是可以称为“集合间的乘法”，而集合的“乘方”之说也是顺理成章的。所以，关系，只有在作为集合出现时，才有真正意义上的“平方”。）