Question

已知函数f(x)=(x+1)(-1+lnx) 1,令函数g(x)=f ' (x)-x-1/x, 求y=g(x)的最大值

2，当x＞0时，（x-1）[f(x)+2]≥m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)∵f'(x)=(lnx-1)+(x+1)/x=lnx+1/x
∴g(x)=lnx-x(x＞0)
∴g'(x)=1/x-1
令g'(x)=o → x=1
∵g(x)在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴g(x)max=g(1)=-1
(2)(x-1）[f(x)+2]=(lnx-1)(x-1)²≥m
∵lnx-1在(0,+∞）上递增,(x-1)²在(0,1)上递减,在（1，+∞）上递增
∴(lnx-1)(x-1)²在(0,1)上递减,在（1，+∞）上递增(这是由同增异减得来的)
∴当x=1时取得最小值0
∴m≤0