Question

如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交圆O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F。

AD与BF相等吗？为什么？

Answer 1

AD=BF

证明：

连接AC、BC

∵OC⊥AB，OA=OB

∴OC垂直平分AB

∴AC=BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

∵EC⊥CD

∴∠DCE=90°

∵∠CDB=1/2∠COB=45°（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角）

∴△DCF是等腰直角三角形

∴CD=CF

∵∠ACB=90°=∠DCE（直径所对的圆周角为直角）

∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE

即∠FCB=∠DCA

∴△DCA≌△FCB（SAS）

∴AD=BF

【也可用AC=BC，∠DAC=∠DBC（同弧），∠ADC=∠BFC=135°证明全等】

Answer 2

延长CE交⊙O于G.连接BG、DG，

∵EC⊥DC，∠DCE=90°，∴DG是直径，∠DBG=90°，

∵AB是直径，DG是直径，∴弦BG=AD，

∵OC⊥AB，∴∠BGC=45°,⊿GBF是等腰直角三角形，得BF=BG，

∴BF=AD。