Question

随机变量X服从标准正态分布，那它的四次方的期望怎么求呢

随机变量X服从标准正态分布，那它的四次方的期望怎么求呢？

Answer 1

X服从标准正态分布，x四次方的期望的求法：

显然X^2服从自由度为1的卡方分布，故E(X^2)=1,D(X^2)=2；得到E(X^4)=D(X^2) + (E(X^2))^2 = 3。

分析：第一步利用了卡方分布的定义，第二步利用了方差的定义。其中，卡方分布是由标准正态分布平方和累加而成，自由度就是组成个数，比如χ2(5)就是五个独立的标准正态分布平方和相加，χ2(n)的期望是n，方差是2n。

结论：标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。若 N(0，1)，则若N为奇数则E(X^N)=0；若N为偶数则E(X^N)=(N-1)。

扩展资料：

标准正态分布的特点：

1、密度函数关于平均值对称

2、平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

3、函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

4、函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。

参考资料来源：百度百科-标准正态分布

Answer 2

用定义求解而不是性质，X4次方当成一个g(x)函数，根据定义，E（X4次方）=积分符号g(x)f(x)dx, 其中f(x)是标准正态分布的概率密度。用分部积分法求解，不过运算很麻烦。还有另一种解这种复杂积分的方法，用一个叫F（符号我打不出来）函数的性质解，前提你熟悉这个F函数，在浙大教材P79有提过这个函数。 查看原帖>>