Question

已知数列｛An｝中、A1=2、An+1=1/2An+1/2、求数列An通项公式

Answer 1

解：a(n+1)-1=1/2(an-1)
所以{an-1}是公比1/2的等比数列
而a1-1=1
所以an-1=1/2^(n-1)
an=[1/2^(n-1)]+1

Answer 2

 

追问

请问有其他的简便方法吗

Answer 3

举一反三是目标，来龙去脉最重要，公式口诀不强调，死记硬搬会误导！

Answer 4

我曾经试过解这道题，但用常规递推方法和不动点法均无法解决。于是我断定这个数列没有通项。

（事实上，很多这样的无穷数列都没有通项，能求出通项的毕竟是少数。）

我将这个问题发至Wolfram，计算结果是这样的：

a(n+1)=2a(n)+1/a(n),a(1)=1

而与题主给出的数列类似的一个数列：

在Wolfram上的运算结果如下：
a(n+1)=a(n)/2+1/a(n),a(1)=1

可以看出，后者的网页中有「Recurrence equation solution」（通项公式）这一内容，而前者没有，仅有「Alternate forms」（递推）这一内容。
然而后者的通项可以用不动点法解出。

这说明，计算机无法求出题主所给数列的通项。因此我断定，这个数列的通项公式很有可能不存在！

P.S.
请原谅我不严谨的方法。因为我也不能严格证明某个数列没有严格意义上的通项公式。（可能是我的知识水平有限，无法作出解答）这是我的一点见解。如有不当之处，敬请各位知乎大神斧正。谢谢。
解答来源公众号：PiCUP_

Answer 5

解：∵a(n+1)-1=1/2(an-1)
∴a1-1=1
∴{an-1}是公比1/2的等比数列
∴an-1=1/2^(n-1)
∴an=[1/2^(n-1)]+1