Question

已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－1/2

（1）若sin（π/4＋α）=√2/2，且0＜α＜π，求f（α）的值
（2）当f（x）取得最小值时，求自变量x的集合

Answer 1

f(x)=cosx（sinx＋cosx）－1/2
=sinxcosx+cos²x-1/2
=1/2*sin2x+1/2*(2cos²x-1)
=1/2*sin2x+1/2*cos2x
=√2/2*(√2/2*sin2x+√2/2*cos2x)
=√2/2*sin(2x+π/4)
1、∵0＜α＜π
∴π/4＜π/4+α＜5π/4
又∵sin（π/4＋α）=√2/2
∴π/4＋α=3π/4
即α=π/2
∴f(α)=√2/2*sin(2*π/2+π/4)=√2/2*sin(5π/4)=√2/2*(-√2/2)=-1/2

2、当sin(2x+π/4)=-1时，f(x)取得最小值-√2/2
此时2x+π/4=-π/4+2kπ或-3π/4+2kπ，k∈Z
解得：x=-π/4+kπ或-π/2+kπ，k∈Z
则当f（x）取得最小值时，自变量x的集合为：
{x|x=-π/4+kπ或-π/2+kπ}，k∈Z

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Answer 2

f(x)=cos²x+sinxcosx-1/2
=(1+cos2x)/2+(sin2x)/2-1/2
=1/2(sin2x+cos2x)
=√2/2sin(2x+π/4)
最大值2x+π/4=π/2 x=π/8+2kπ 最小值x=5π/8+2kπ
希望能解决您的问题。