Question

如图所示，已知电源电动势E=5V，内阻r=2Ω，定值电阻R1=0.5Ω，滑动变阻器R2的阻值范围为0～10Ω，求：

（1）当滑动变阻器R2的阻值为多少时，电阻R1消耗的功率最大？最大功率是多少？
（2）当滑动变阻器的阻值为多少时，滑动变阻器消耗的功率最大？最大功率是多少？
（3）当滑动变阻器的阻值为多少时，电源的输出功率最大？最大功率是多少？
希望回答带上解析，不胜感激。

Answer 1

1.R1为定值电阻，所以根据P=I^2*R其功率与电流成正比
所以电流越大功率越大，所以当R2为0时电流最大，为E/(R1+r)=5/(2+0.5)=2A,所以功率为2^2*0.5=2w

2.此时电阻非定值，于是将R1视为电源内阻，即相当于电动势为5V，内阻为2.5欧的电源外接一个可变的电阻R2。于是
R2上的电流为5/(2.5+R2）
于是其功率为5^2/(2.5+R2)^2*R2=25/(6.25/R2+5+R2)
观察此式 分子25为定值，要想最大那么分母一定最小。于是对分母使用均值不等式，分母》5+2*根号下6.25=10
当且仅当6.25/R2=R2即R2等于2.5欧时成立
最大功率=25/10=2.5W

3.端电压U=E*（R1+R2）/（R1+R2+r）
端电流I=E/（R1+R2+r）
电源输出电压p=U*I=25*（0.5+R2）/(2.5+R2）^2 为求该式最值前面乘的25为常数不管，后面的式子做一个变形
=（2.5+R2-2）/2.5+R2）^2=1/(2.5+R2)+2/(2.5+R2)^2
换元 令t=1/(2.5+R2) 则上式变为t-2t^2,为二次函数，其最大值为当t=-1/-4=0.25时的值，即
1/(2.5+R2)=0.25，rR2=1.5欧
此时P=0.125w