f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),且f'(0)=1，求f(x)的解析式。
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∵f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
∴f(x+y)-f(x)=f(y)+xy(x+y), 两边同时除以y
[f(x+y)-f(x)]/y=f(y)/y+x(x+y), 取极限y→0
lim(y→0)[f(x+y)-f(x)]/y=lim(y→0)f(y)/y+x(x+y)
即f'(x)=f'(0)+x²=x²+1
∴f(x)=x³/3+x+C
又f(x+0)=f(x)+f(0)
∴f(0)=0
∴C=0
∴f(x)=x³/3+x
∴f(x+y)-f(x)=f(y)+xy(x+y), 两边同时除以y
[f(x+y)-f(x)]/y=f(y)/y+x(x+y), 取极限y→0
lim(y→0)[f(x+y)-f(x)]/y=lim(y→0)f(y)/y+x(x+y)
即f'(x)=f'(0)+x²=x²+1
∴f(x)=x³/3+x+C
又f(x+0)=f(x)+f(0)
∴f(0)=0
∴C=0
∴f(x)=x³/3+x
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