Question

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF （1）求证：四边形EFGH是

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形。

Answer 1

证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C 又∵AE=CG，AH=CF， ∴△AEH≌△CGF ∴ 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， ∴ ， ，即 ， ． 又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．  ∴ ．  ∴四边形EFGH是平行四边形． （2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD． 设 ，则 ∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH= ∵AD=AB=CD，AH = AE = CG， ∴ ，即 ∴∠DHG=∠DGH= ∴∠EHG= ∠AHE 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是矩形． 解法二：联结BD，AC． ∵AH=AE，AD = AB， ∴ ∴HE∥BD 同理可证，GH∥AC ∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠EHG 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是矩形．