Question

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得

a1(1?q4) 1?q + a1(1?q3) 1?q ＝ 2a1(1?q2) 1?q a3 q +a3+qa3＝?18

，解得q=-2，a₃=12，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃?q^n-3=12×（-2）^n-3=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n=

3[1?(?2)n]

1?(?2)

=1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，
当n为偶数时，2ⁿ≤-2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．