Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△ABC的高为h。在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h 3 =0，可得结论：h 1 +h 2 +h 3 =h，在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外。（1）请探究：图（2）--（5）中，h 1 、h 2 、h 3 、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h 1 、h 2 、h 3 、h 4 ，桥形的高为h，则h 1 、h 2 、h 3 、h 4 、h之间的关系为：___________；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

Answer 1

解：（1）图②-⑤ 中的关系依次是： h 1 +h 2 +h3=h；h 1 -h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 -h 3 =h； （2）图②中，h 1 +h 2 +h 3 =h， ∵h 1 =BPsin60°，h 2 =PCsin60°，h 3 =0，  ∴h 1 +h 2 +h 3 =BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h； （3）图④中，h 1 +h 2 +h 3 =h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S， 在△ARS中，由图②中结论知：h 1 +h 2 +0=h-h 3 ， ∴ h 1 +h 2 +h 3 =h； （4）h 1 +h 3 +h 4 = ， 让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广。