Question

如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向

如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=52，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
∴BD=CD=

1

2

BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴

BP

BD

＝

BQ

AB

，
即

2t

6

＝

6?t

10

，
解得：t=

18

13

；

（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=

1

2

BQ=

1

2

（6-t）cm，
∵a=

5

2

，
∴PB=

5

2

tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即

5 2 t

10

＝

1 2 (6?t)

6

，
解得：t=

3

2

，
∴PQ=PB=

5

2

t=

15

4

（cm）；

②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，PM∥CQ，
∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），

at＝6+t① 6+t 12 ＝ 10?at 10 ②

，
化简得②：6at+5t=30③，
把①代入③得，t=-

6

11

，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．