如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另
如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C...
如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1F2的面积为253，求弦AB的长度．
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（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
A是椭圆C的顶点，∠F1AF2=60°，
∴a=2c，
∴e=
=
．
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a-m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°
整理，得（2a-m）2=m2+a2+am．
m=
a．
△AF1B面积S=
|BA||F1A|sin60°，
∴
a（a+
a）?
=25
，解得a=
．
∴b=c=
，∴F1（-
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A是椭圆C的顶点，∠F1AF2=60°，
∴a=2c，
∴e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a-m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°
整理，得（2a-m）2=m2+a2+am．
m=
| 3 |
| 5 |
△AF1B面积S=
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
5
| ||
| 2 |
∴b=c=
5
| ||
| 4 |
5
|
