已知f(x)=x3+ax2-a2x+2.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若a≠0,

已知f(x)=x3+ax2-a2x+2.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若不等式2xl... 已知f(x)=x3+ax2-a2x+2.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立,求实数a的取值范围. 展开
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(Ⅰ)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,
∴f′(x)=3x2+2x-1,∴k=f′(1)=4,又f(1)=3,所有切点坐标为(1,3).
∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
(Ⅱ)f′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a)由f′(x)=0,得x=-a或x=
a
3

(1)当a>0时,由f′(x)<0,得-a<x<
a
3
;由f′(x)>0,得x<-a或x>
a
3

此时f(x)的单调递减区间为(-a,
a
3
),单调递增区间为(-∞,-a)和(
a
3
,+∞).
(2)当a<0时,由f′(x)<0,得
a
3
<x<?a
;由f′(x)>0,得x<
a
3
或x>-a.
此时f(x)的单调递减区间为(
a
3
,-a),单调递增区间为(-∞,
a
3
)和(-a,+∞).
综上:当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-a,
a
3
),单调递增区间为(-∞,-a)和(
a
3
,+∞);
当a<0时,f(x)的单调递减区间为(
a
3
,-a),单调递增区间为(-∞,
a
3
)和(-a,+∞).
(Ⅲ)依题意x∈(0,+∞),不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立,
等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在(0,+∞)上恒成立,可得a≥lnx-
3
2
x-
1
2x
在(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=lnx-
3x
2
-
1
2x
,则h′(x)=
1
x
-
3
2
+
1
2x2
=-
(x?1)(3x+1)
2x2

令h′(x)=0,得x=1,x=-
1
3
(舍),当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
当x变化时,h′(x),h(x)变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
h′(x) + 0 -
h(x) 单调递增 -2 单调递减
∴当x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max=-2,∴a≥-2.
∴a的取值范围是[-2,+∞).
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