Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+n?3n+1，则an=______

在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+n?3n+1，则an=______．

Answer 1

∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+n?3ⁿ⁺¹，
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=n，

a1

3

＝

1

3

，
∴

an

3n

=

a1

3

+

a2

32

?

a1

3

+

a3

33

?

a2

32

+…+

an

3n

?

an?1

3n?1

=

1

3

+1+2+…+(n?1)
=

1

3

+

(n?1)n

2

，
∴a_n=3^n-1+

(n?1)n

2

?3n．
故答案为：3^n-1+

(n?1)n

2

?3n．

Answer 2

在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+n?3n+1，则an=n
n=1时a1+1=3a1+1?3+1因为a1=1
所以1+1＝3+1？3+1＝5？3
？＝-
an+1=3an+n-3n+1
化简an=n
所以在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+n?3n+1，则an=n