（2014?四会市一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交
（2014?四会市一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．...
（2014?四会市一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）求∠EBF的度数；（3）若BC=23，求矩形ABCD的面积．
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（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∵在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
∴∠FEB=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠EBF=60°．
（3）解：∵BC=2
，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=4
，
∴AB=
=
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
|
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∵在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
∴∠FEB=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠EBF=60°．
（3）解：∵BC=2
| 3 |
∴AC=2BC=4
| 3 |
∴AB=
| AC2?BC2 |
(4
|
