Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一绝缘?形管杆由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内．PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场界线上，NMAP段是光滑的，现有一质量为m、带电量为+q的小环套在MN杆，它所受到的电场力为重力的12倍．现在M右侧D点静止释放小环，小环刚好能到达P点，（1）求DM间的距离x0．（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小．（3）若小环与PQ间的动摩擦因数为μ（设最大静止摩擦力与滑动摩擦力大小相等）．现将小环移至M点右侧6R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）由动能定理qEx₀-2mgR=0
qE=

1

2

mg
∴x₀=4R
故DM间的距离为4R．
（2）设小环在A点速度v_A
由动能定理qE（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
vA＝

3gR

由向心力公式：N?qvAB?qE＝m

v 2 A

R

N＝

7

2

mg+qB

3gR

故弯杆对小环作用力的大小N＝

7

2

mg+qB

3gR

．
（3）若μmg≥qE即μ≥

1

2

小环达P点右侧S₁处静止
qE（6R-S₁）-mg?2R-μmgS₁=0
S1＝

2R

1+2μ

∴W＝μmgS1＝

2μmgR

1+2μ

若μmg＜qE即μ＜

1

2

，环经过往复运动，最后只能在PD之间运动，设克服摩擦力为W
则：qE?6R-mg?2R-W=0
∴W=mgR
故小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为

2μmgR

1+2μ

或mgR．