Question

已知函数f（x）=x2-4x+a+3．（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（2）若函数y=

已知函数f（x）=x2-4x+a+3．（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x），x∈[t，4]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-4x+a+3；
∴f（x）图象是抛物线，开口向上，且对称轴是 x=2；
∴f（x）在[-1，1]上是单调减函数；
∵f（x）=0在[-1，1]上有实数根；
∴

f(?1)＞0 f(1)＜0

；
即

1+4+a+3＞0 1?4+a+3＜0

；
解得-8＜a＜0；
∴a的取值范围是（-8，0）．
（2）∵f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
∴f（t）-f（2）=7-2t，
即（t²-4t+a+3）-（a-1）=7-2t，
∴t²-2t-3=0，
解得t=-1，或t=3（不满足条件，舍去）；
当0＜t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，
令7-2t=4，解得t=

3

2

，满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t²-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[t²-4t+a+3，a+3]；区间长度为（a+3）-（t²-4t+a+3）=-t²+4t，
令7-2t=-t²+4t，解得t=3+

2

，或t=3-

2

，不满足条件；
综上，当t=-1，或

3

2

时，满足题目中的条件．