Question

如图（1），⊙O中△ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；（1）求证：OB+BC=CD；（2）如图（2），过

如图（1），⊙O中△ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；（1）求证：OB+BC=CD；（2）如图（2），过O作OE⊥AC于E，若CD=4OB，OE=3，求⊙O半径．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OC、OD，过O作OM∥CD交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵OM∥AC，
∴∠BMO=∠BCA=60°，∠BOM=∠BAC=60°，
∴OB=OM=BM，
∴△OBM为等边三角形，
∴OB=OM，
∵∠BAC=∠OMB=60°，
∴∠DAO=∠OMC=120°，
∵AB=BC，OB=BM，
∴AO=CM，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠D+∠DOA=∠ACO+∠MCO=60°，
∵OD=OC，
∴∠D=∠ACO，
∴∠DOA=∠MCO，
在△OAD和△CMO中

OD＝OC ∠DOA＝∠MCO OA＝CM

                        
∴△OAD≌△CMO，
∴OM=OB=AD，
∴OB+BC=CD； 
                                   
解：（2）设OB=a，CD=4a，AC=3a，OA=2a，
∵∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO=a，
∵tan∠AOE=

AE

OE

＝

3

3

OE=

3

，
∴a=1，CD=4，
∵OE⊥CD，
∴DE=CE=2，
∴OC=

OE2+DE2

＝

7

．