Question

在四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点.求证:三角形…

在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点。求证：三角形PCD的面积等于四边形ABCD面积的一半？

Answer 1

知识点:等底同高的三角形面积相等.
证明:连接AN,CN.
∵DM=BM.
∴S⊿CDM=S⊿ADM.(等底同高的三角形面积相等).
则:S⊿CDM=(1/2)S⊿ADC;
同理可证:S⊿PMC=S⊿PMA=(1/2)S⊿APC;
              S⊿PDM=S⊿PBM，（分别是两个小三角形的面积和）
     ∵M是AC中点，∴△MPB的边PB的高 等于  △CPB的边PB的高 的一半，（可以分别过M、C作BP的垂线，用相似三角形的相似比证明）  ；

∴    S⊿PDM=S⊿PBM=（1/2）S△PBC，

S△PCD=S⊿CDM+S⊿PMC+S⊿PDM=(1/2)S⊿ADC+(1/2)S⊿APC+（1/2）S△PBC

=（1/2）S四边形ABCD，

∴三角形PCD的面积等于四边形ABCD面积的一半。