Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.

Answer 1

（1）t=1或 ；（2） ；（3）证明见解析.

试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，  ，当△BPQ∽△BCA时，  ，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可. （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出  ，代入计算即可. （3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点， 证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由 得到点E为BC的中点，由 得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上. 试题解析：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵  ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴ ，解得t=1； ②当△BPQ∽△BCA时，∵ ，∴  ，解得 . ∴t=1或 时，△BPQ与△ABC相似. （2）如答图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t， ∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°， ∴△ACQ∽△CMP.∴ .∴  ，解得： . （3）如答图，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M， 则 ， ∵ ，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点. 过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点， 则 ，即点E为BC的中点. 同理，点F为BA的中点. ∴PQ中点在△ABC的中位线上.