Question

（2011?重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，

（2011?重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．

Answer 1

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=

DB2+CD2

=2

2

，
∵CE⊥BE，
∠BEC=90°，
∵点G为BC的中点，
∴EG=

1

2

BC=

2

（直角三角形斜边上中线的性质）．
答：EG的长是

2

．

（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADF=∠HDF，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵在△BCD中，∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°，∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
在△AFD和△AMD中
∵

DM＝DF ∠ADM＝∠ADF AD＝AD

，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．