Question

如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线．一带电粒子从ad边的

如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线．一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ=30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m（重力不计），则该带电粒子在磁场中飞行时间最长是多少？若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条件？

Answer 1

解：从题设的条件中，可知带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，它做匀速圆周运动，粒子带正电，由左手定则可知它将向ab方向偏转，带电粒子可能的轨道如下图所示（磁场方向没有画出），这些轨道的圆心均在与v方向垂直的OM上．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 qvB=

mv2

r

，得 r=

mv

qB

 ①
运动的周期为 T=

2πr

v

=

2πm

qB

 ②
由于带电粒子做匀速圆周运动的周期与半径和速率均没有关系，这说明了它在磁场中运动的时间仅与轨迹所对的圆心角大小有关．
由图可以发现带电粒子从入射边进入，又从入射边飞出，其轨迹所对的圆心角最大，那么，带电粒子从ad边飞出的轨迹中，与ab相切的轨迹的半径也就是它所有可能轨迹半径中的临界半径r₀：r＞r₀，在磁场中运动时间是变化的，r≤r₀，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最长的．由上图可知，三角形O₂EF和三角形O₂OE均为等腰三角形，所以有∠OO₂E=

π

3

．
轨迹所对的圆心角为 α=2π-

π

3

=

5π

3

运动的时间 t=

α

2π

T=

5πm

3qB

由图还可以得到 r₀+

r0

2

=

L

2

，r₀=

L

3

≥

mv

qB

得：v≤

qBL

3m

答：带电粒子在磁场中飞行时间最长是

5πm

3qB

；带电粒子的速度应符合条件v≤

qBL

3m

．