Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠C

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；（2）EG＜EF．

Answer 1

解答：（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，
∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠DFE=∠ADB，
∴∠BDF=∠DEF，
∵BD=DC，DE=AE，
∵∠BDF=∠DEF，∠EFD=∠BFD=90°，
∴△BDF∽△DEF，
∴

BD

DF

=

DE

EF

，
则

DC

DF

=

AE

EF

，
∵∠AEF=∠CDF，
∴△CDF∽△AEF，
∴∠CFD=∠AFE，
∴∠CFD+∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠CFE=90°，
∴∠ADC=∠AFC=90°，
∴A、F、D、C四点共圆，
∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD，
∴∠EFG=∠ABD，
∵CF⊥AD，AD⊥BC，
∴F、N、D、G四点共圆，
∴∠EGF=∠AND，
∵∠AND＞∠ABD，∠EFG=∠ABD，
∴∠EGF＞∠EFG，
∴DF＜EF．