Question

一道定积分证明题

求大神帮忙，周一交作业，万分感谢！！！

Answer 1

如下用到的不等式是积分形式的柯西不等式：

证明过程如下：

追答

你的问题有错，应该加个条件：f(x)在[a,b]上不变号。否则，可以举出反例，如图片所示。加了这条件后再用我上述的回答。

Answer 2

根据定义来做。
将区间〔a，b〕分为等长的n个子区间。设 xi为第i个区间的中点。
设
pi＝f（xi）coskxi，
qi＝f（xi）sinkxi，
ri＝f（xi）．
如果我们能证明下式，两边平方和内配上子区间长度，取极限，则结论成立．
（p1＋．．＋pn）＾2＋（q1＋．．．＋qn）＾2＜＝（r1＋．．．＋rn）＾2

我们知道 pi＾2＋qi＾2 ＝ ri＾2， ri ＞＝ 0
两边展开得：
左边为
pi＾2 对i求和
2pipj 对i，j求和， i＜j．
qi＾2 对i求和
2qiqj 对i，j求和， i＜j．

右边为
ri＾2 对i求和
2rirj 对i，j求和， i＜j．

显然：
pi＾2 对i求和 ＋ qi＾2 对i求和 ＝ ri＾2 对i求和

对剩下的，我们只需证明： 任给 i＜j
pipj＋qiqj＜＝ rirj
如果 ri或 rj为0，结论显然，否则，令
sinA＝ pi／ri，cosA＝qi／ri，
sinB＝pj／rj，cosB＝qj／rj，
则所求证不等式为：
（sinAsinB＋cosAcosB）rirj＜＝rirj
即cos（A－B）＜＝1 ，显然成立。于是原结论成立。