Question

观察下列各图： （1）第1个图中有1个三角形，第2个图中有3个三角形，第3个图中有6个三角形，第4个图中

观察下列各图： （1）第1个图中有1个三角形，第2个图中有3个三角形，第3个图中有6个三角形，第4个图中有______个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有______个三角形（用含正整数n的式子表示）；（2）问在上述图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形？若存在，请画出图形；若不存在请通过具体计算说明理由；（3）在下图中，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S 1 ，△PDB的面积为S 2 ，△PDC的面积为S 3 ．试探索S 1 、S 2 、S 3 之间的数量关系，并说明理由．

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Answer 1

（1）10； n(n+1) 2 ； （2）不存在（法一）当n=6时，三角形的个数为 6×(6+1) 2 =21 ； 当n=7时，三角形的个数为 7×(7+1) 2 =28 ； 所以不存在n使三角形的个数为25． （法二）由 n(n+1) 2 =25，得n（n+1）=50，而不存在两个连续整数的乘积为50， 所以不存在n使三角形的个数为25． （3）S 1 +S 3 =2S 2 ． ∵点B是线段AC的中点， ∴AB=BC， ∴S △PAB =S △PBC ， ∴S 1 +S 3 =2S 2 ．