Question

如图所示，已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a≠0)的顶点为 Q(2，- 1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于A

如图所示，已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a≠0)的顶点为 Q(2，- 1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，连接AC，点P从点C出发沿抛物线向点A运动(点P与点A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点 D。(1)求该抛物线的解析式。(2)连接OP，设点P的坐标为 (x，y)，点P从C 向A运动的过程中，由线段CO、OP、PA、AC 围成的四边形的面积为 S，求S关于P点横坐标x的函数解析式，并求出S的最大值。(3)在点P从C向 A运动的过程中，若∠DAP = 90°，直接写出符合条件的点 P的坐标。

Answer 1

解：(1)∵ 抛物线y= ax 2 + bx + c(a≠0)的顶点为 (2，-1)， ∴ 设该抛物线的解析式为y= a(x - 2) 2 -1，     ∵ 抛物线与y轴交于点 C(0，3)， ∴ 3 = a(0-2) 2 -1， ∴ a =1，  ∴ 该抛物线的解析式为 y = (x -2) 2 -1， 即 y= x 2 - 4x +3。    ( 2 ) 由 x 2 - 4x + 3 = 0 ， 得 x 1 = 1 ， x 2 = 3， ∵ A在B的右侧， ∴A(3，0)，B(1，0)，     ∴ S △AOC =3×3 ÷2 = ，S △AOP =      ∴ 当点P从C运动到B时，即0≤x≤1时， S= S △AOC - S △AOP = ； 当点P从B运动到A时，即 1 <x<3 时， S= S △AOC + S △AOP ， ∴ S=      当点P与点 Q重合时，S最大，最大值为 6。    (3)符合条件的点 P的坐标为(2，-1)。