Question

已知函数f（x）=ax-2lnx- a x （I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=ax-2lnx- a x （I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）= 2e x ，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）函数的定义域为（0，+∞）， f′(x)= a x 2 -2x+a x 2 ①若f′（x）≥0，则ax 2 -2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即 a≥ 2x x 2 +2 = 2 x+ 1 x 在（0，+∞）上恒成立，∵ 2 x+ 1 x ≤1 ，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增； ②若f′（x）≤0，则ax 2 -2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即 a＜ 2x x 2 +2 = 2 x+ 1 x 在（0，+∞）上恒成立，∵ 2 x+ 1 x ＞0 ，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减； 综上，a≥1或a≤0； （II）g（x）= 2e x 在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]． ①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x） max =f（1）=0，不合题意； ②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e） ∴ a(e- 1 e )-2＞2 ∴ a＞ 4e e 2 -1 ； ②当0＜a＜1时，∵ x- 1 x ≥0 ∴f（x）=ax-2lnx- a x ≤ x- 1 x -2lnx ≤ e- 1 e -2＜2，不合题意 综上， a＞ 4e e 2 -1 ．