Question

已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x属于(0，1]时，f（x）=(2^x )-1,

(1)求f(x)在【-1，0）上的解析式,(2)求f(log(1/2)24,(3)若方程f(x)-lgm=0有解求m的的取值范围

Answer 1

1、x属于[-1，0）时，－x属于（0，1]，f（x）=－f（－x）=－（2^（-x）-1）=1-2^（-x）
2、f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），f（x）是周期为4的函数
log(1/2)24+4=log(2)（1/24）+4=log(2)（16/24）=log(2)（2/3）属于[-1，0），
而－log(2)（2/3）=log(2)（3/2）
f(log(1/2)24）=f（log(1/2)24+4）=f（log(2)（2/3））=1-2^（log(2)（3/2））=－1/2
3、f（0）=0，f（2）=-f（0）=f（0）=0
当x属于[1，2）时，x-2属于[-1，0），f（x）=-f（x-2）=2^（2-x）-1
当x属于（2，3]时，x-2属于（0，1]，f（x）=-f（x-2）=1-2^（x-2）
已求出的四段函数表达式恰好构成一个周期，所以函数的值域是[-1，1]，m属于[-10，10]
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