Question

设f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，且∫f(x)0f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，则f′（0

设f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，且∫f(x)0f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，则f′（0）=（　　）A．0B．1C．2D．12

Answer 1

∵f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，
∴

lim

x→0

f′(x)＝f′(0)，

lim

x→0

f′[f(x)]＝f′[f(0)]
又由：

∫

f(x) 0

f（t）dt是当x→0时与4x²等价的无穷小量，
可知：

lim

x→0

f(x)＝0且

lim

x→0

∫ f(x) 0 f(t)dt

4x2

＝1，
∴

lim

x→0

∫ f(x) 0 f(t)dt

4x2

＝

lim

x→0

f(f(x))f′(x)

8x

=f′(0)

lim

x→0

f[f(x)]

8x

=f′(0)

lim

x→0

f′[f(x)]f′(x)

8

=

[f′(0)]2

8

lim

x→0

f′[f(x)]=

[f′(0)]3

8

＝1
于是：f′（0）=2，
故选：C．