Question

如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=37°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀

如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=37°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g． （1）求小物块与木板间的动摩擦因数μ；（2）当θ角为何值时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．

Answer 1

（1）当θ=37°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析：
木块沿斜面木板方向：mgsinθ=μF_N…①
木块垂直斜面木板方向：F_N-mgcosθ=0…②
由①和②可解得木块与木板间动摩擦因数为：
μ=tanθ=0.75
（2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则木块沿木板斜面方向有受到的合力为：
-mgsinθ-μmgcosθ=ma…④
木块的位移x为：0-v₀²=2ax…⑤
根据数学关系知木块加速度最大时位移最小，根据④式有：
a=g（sinθ+μcosθ）
根据数学关系有：sinθ+μcosθ＝

1+μ2

sin(θ+α)
其中tanα=μ=

3

4

，则α=37°
要使加速度a最大，则有θ+a=90°时取最大值g

1+μ2

所以有θ=90°-α=53°时加速度取最大值为：a=

5

4

g
代入⑤可得：xmin＝

2 v 2 0

5g

答：（1）小物块与木板间的动摩擦因数为0.75；
（2）当θ角为53°时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，最小距离为xmin＝

2 v 2 0

5g

．