Question

如图，△ABC中，∠BAC=90゜，AC=2AB，D为AC的中点，E为△ABC外一点，且EA=ED，EA⊥ED，试猜想线段BE和CE

如图，△ABC中，∠BAC=90゜，AC=2AB，D为AC的中点，E为△ABC外一点，且EA=ED，EA⊥ED，试猜想线段BE和CE的数量关系和位置关系，并证明．

Answer 1

BE=CE，BF⊥CE．
理由如下：∵D为AC的中点，
∴AC=2CD，
∵AC=2AB，
∴AB=CD，
∵EA=ED，EA⊥ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°，
∠CDE=180°-∠ADE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

EA＝ED ∠BAE＝∠CDE AB＝CD

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠BEA=∠CED，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠BED+∠BAE=∠AED=90°，
∴BE⊥CE．
故BE=CE，BF⊥CE．