Question

如图，AC平分<BAD，CE垂直 A B 与点E，CF垂直AD交AD的延长线与点E且BC=CD

如图，AC平分<BAD，CE垂直 A B 与点E，CF垂直AD交AD的延长线与点E且BC=CD。
（1）：求证三角形BCE全等DCF
（2）：若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长

Answer 1

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289
∴AC=17
答：AC的长为17．

Answer 2

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289
∴AC=17
答：AC的长为17．

1、因为AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F
所以三角形ACF全等于ACE(HL)
所以CF=CE
因为BC=CD
所以三角形BCE全等于三角形DCF(HL)
2、因为BE=DF
所以AB-BE=AD+DF
所以BE=DF=6,AE=15
所以CE=8
AC=17