Question

已知函数 f(x)= k x 2 e x ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区

已知函数 f(x)= k x 2 e x ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=l时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的定义域为R，求导函数可得 f′(x)= -kx(x-1) e x 当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2 ∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）； 当k＜0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2 ∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0），（2，+∞）； （2）当k=l时， f(x)= x 2  e x  ，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜ 2lnx-x x 设g（x）= 2lnx-x x （x＞0） 存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x） max ， g′(x)= 2(1-lnx) x 2 ，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0 ∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 ∴g（x） max =g（e）= 2 e -1 ∴a＜ 2 e -1 ．