Question

已知函数f（x）=e x （ax 2 +a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方

已知函数f（x）=e x （ax 2 +a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上， f(x)≥ 2 e 2 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-e x x 2 ，f（1）=-e． f ′ （x）=-（x 2 +2x）e x ，则k=f ′ （1）=-3e． ∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e． （Ⅱ）由 f(-2)= e -2 (4a+a+1)≥ 2 e 2 ，得：a ≥ 1 5 ． f ′ （x）=e x （ax 2 +2ax+a+1）=e x [a（x+1） 2 +1]． ∵a ≥ 1 5 ，∴f ′ （x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增， 要使 f(x)≥ 2 e 2 恒成立，则 f(-2)= e -2 (4a+a+1)≥ 2 e 2 ，解得a ≥ 1 5 ．