Question

已知椭圆E： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左顶点为A，左、

已知椭圆E： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左顶点为A，左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，且圆C： x 2 + y 2 + 3 x-3y-6=0 过A，F 2 两点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF 2 的倾斜角为α，直线PF 1 的倾斜角为β，当β-α= 2π 3 时，证明：点P在一定圆上．（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k QB ，k QC 存在且不为0，求证：k QB ?k QC 为定植．

Answer 1

（1）∵圆 x 2 + y 2 + 3 x-3y-6=0 与x轴交点坐标为 A(-2 3 ，0) ， F 2 ( 3 ，0) ， ∴ a=2 3 ，c= 3 ，∴b=3， ∴椭圆方程是： x 2 12 + y 2 9 =1 ．…（4分） （2）证明：设点P（x，y），因为F 1 （- 3 ，0），F 2 （ 3 ，0）， 所以 k P F 1 =tanβ= y x+ 3 ， k P F 2 =tanα= y x- 3 ， 因为β-α= 2π 3 ，所以tan（β-α）=- 3 ． 因为tan（β-α）= tanβ-tanα 1+tanαtanβ = -2 3 y x 2 + y 2 -3 ，所以 -2 3 y x 2 + y 2 -3 =- 3 ， 化简得x 2 +y 2 -2y=3，所以点P在定圆x 2 +y 2 -2y=3上．…（10分） （3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n） ∴k QB ?k QC = n-y′ m-x′ ? -n-y′ -m-x′ = n 2 -y ′ 2 m 2 -x ′ 2 ∵ m 2 12 + n 2 9 =1 ， x′ 2 12 + y′ 2 9 =1 ∴两式相减可得 m 2 -x ′ 2 12 + n 2 -y ′ 2 9 =0 ∴ n 2 -y ′ 2 m 2 -x ′ 2 = - 3 4 ∴k QB ?k QC = - 3 4 …（12分）