Question

如图，△OAB中，OA =" OB" = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧 分别交OA，OB于点M，N. （

如图，△OAB中，OA =" OB" = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧 分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证：AP = BP′； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧 上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.

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Answer 1

（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。 （2） （3）10°或170°

分析：（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。 （1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP， ∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP， ∴∠AOP=∠BOP′。 ∵在△AOP和△BOP′中， ， ∴△AOP≌△BOP′（SAS）。 ∴AP=BP′。 （2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案。 解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H， ∵AT与 相切，∴∠ATO=90°。 ∴ 。 ∵ ×OA×TH= ×AT×OT， ∴ ×10×TH= ×8×6，解得：TH= 。 ∴点T到OA的距离为 。 （3）如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大。理由如下： 当Q点在优弧 左侧上， ∵OQ⊥OA， ∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。 ∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°。 当Q点在优弧 右侧上， ∵OQ⊥OA， ∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。 ∴∠BOQ=∠AOQ－－∠AOB=90°－80°=10°。 综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大。