已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性及极值;(2)设0<a≤2,证明:对任意x1:x2∈(0
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性及极值;(2)设0<a≤2,证明:对任意x1:x2∈(0,a2),|f(x1)?f(x2)|≥a|x_...
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性及极值;(2)设0<a≤2,证明:对任意x1:x2∈(0,a2),|f(x1)?f(x2)|≥a|x_?x2|.
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(1)由f′(x)=?
+
=
①当a≤0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,若0<x<a,f′(x)<0,故函数f(x)在(0,a)上单调递减,
若x>a,f′(x)>0,故f(x)在(a,+∞)上单调递增,
所以极小值f(a)=1+lna,无极大值.
(2)证明:不妨设x1≥x2,而0<a≤
,由(1)知f(x)在(0,
)的单调递减,
故对任意x1,x2∈(0,
),|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|等价于:
对任意x1:x2∈(0,
),f(x2)?f(x1)≥a(x1?x2)
即f(x1)+ax1≤f(x2)+ax2
令g(x)=f(x)+ax,则g′(x)=
,
令h(x)=ax2+x-a,∵0<a≤
,
∴h(0)=-a<0,h(
)=
+
?a=
≤0,
则g′(x)<0(0<x<
),故g(x)在(0,
)上单调递减,
又由x1≥x2,∴g(x2)≥g(x1),即f(x2)+ax2≥f(x1)+ax1
∴对任意x1:x2∈(0,
),|f(x1)?f(x2)|≥a|x1?x2|.
a |
x2 |
1 |
x |
x?a |
x2 |
①当a≤0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,若0<x<a,f′(x)<0,故函数f(x)在(0,a)上单调递减,
若x>a,f′(x)>0,故f(x)在(a,+∞)上单调递增,
所以极小值f(a)=1+lna,无极大值.
(2)证明:不妨设x1≥x2,而0<a≤
2 |
a |
2 |
故对任意x1,x2∈(0,
a |
2 |
对任意x1:x2∈(0,
a |
2 |
即f(x1)+ax1≤f(x2)+ax2
令g(x)=f(x)+ax,则g′(x)=
ax2+x?a |
x2 |
令h(x)=ax2+x-a,∵0<a≤
2 |
∴h(0)=-a<0,h(
a |
2 |
a3 |
4 |
a |
2 |
a(a2?2) |
4 |
则g′(x)<0(0<x<
a |
2 |
a |
2 |
又由x1≥x2,∴g(x2)≥g(x1),即f(x2)+ax2≥f(x1)+ax1
∴对任意x1:x2∈(0,
a |
2 |
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