Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a+c）cosB=-bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=23，a

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a+c）cosB=-bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=23，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）在△ABC中，根据（2a+c）cosB=-bcosC，
利用正弦定理可得 2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即 2sinAcosB+sin（C+B）=0，即 2sinAcosB+sinA=0．
由于sinA≠0，可得 cosB=-

1

2

，∴B=120°．
（2）若b=2

3

，a+c=4，由余弦定理可得 b²=12=a²+c²-2ac?cosB=（a+c）²-2ac+ac=16-ac，
∴ac=4，△ABC的面积为

1

2

ac?sinB=2×

3

2

=

3

．