Question

高等数学 怎样讨论狄利克雷函数的连续性？

Answer 1

实数的连续性。可以知道的是狄利克雷函数是没有最小正周期的，这是因为在两个正数之间必然存在另一个正数
      在解椭圆型偏微分方程的边值问题时，把它转化为在某些函数类中求某些泛函的极小值的变分问题的一种方法。根据狄利克雷原理：存在着一个边界上取给定值的函数u0，使重积分
      
      
      
      达极小值，这个极小化函数u0同时是拉普拉斯方程△u＝0的满足同一边界条件的解。
      
      
      狄利克雷原理最早出现在英国数学家格林关于位势理论的著作中，稍后又为高斯和狄利克雷独立提出。狄利克雷在一次讲演中，对函数本身及其诸偏导数都连续的函数类的狄利克雷原理，给出十分确切和完全的叙述，并在1876年由他的一个学生发表。黎曼首先以狄利克雷的名字命名这一原理并应用于复变函数，从而使其得到广泛的关注。然而狄利克雷给出的证明是不完善的。1870年，外尔斯特拉斯以其特有的严格化精神批评了狄利克雷原理在逻辑上的缺陷。他指出：连续函数的下界存在且可达到，但此性质不能随意推广到自变量本身为函数的情形，即在给定边界条件下使积分极小化的函数未必存在。他的非议迫使数学家们放弃狄利克雷原理，但事实上数学物理中的许多结果都依赖于此原理而建立。
      
      
      在19世纪末20世纪初，希尔伯特采取完全不同的思路来处理这一难题。他通过边界条件的光滑化来保证极小函数的存在，从而恢复了狄利克雷原理的功效。他的工作不仅“挽救”了有广泛应用价值的狄利克雷原理，也丰富了变分法的经典理论。
      
      
      狄利克雷原理的进一步发展由原苏联数学家索伯列夫完成，他对于多重调和方程，包括区域的边界由不同维数流形组成的情形进行了叙述，并证明了狄利克雷原理的正确性

Answer 2

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。

证明思路：因为实数域上有理数是可列的(有理数可表示为{N/M},N,M均为全体整数)，古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。

（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的；

（2）当x不等于0时，

若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0，

从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。

扩展资料：

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

Answer 3

狄利克雷函数处处不连续。
任意两个实数之间有无穷多的有理数和无理数，所以函数任何一点的左右极限不存在，所以函数处处不连续。

Answer 4

 

追问

可不可以找到证明过程呀？这些结论我有。

Answer 5

无连续性