Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 5 5 ．（1）求椭圆的标准方程；

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 5 5 ．（1）求椭圆的标准方程； （2）若直线L方程为y=x+1，L交椭圆于M、N两点，求|MN|的长．

Answer 1

（1）设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）， 由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2， 由离心率为 5 5 ，得 c a = 5 5 ，即a 2 =5c 2 =5（a 2 -4），解得a 2 =5， 所以椭圆的标准方程为 x 2 5 + y 2 4 =1 ； （2）由 y=x+1 x 2 5 + y 2 4 =1 得9x 2 +10x-15=0， 设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =- 10 9 ， x 1 x 2 =- 5 3 ， 所以|MN|= 2 ? |x 1 -x 2 |= 2 ? ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 2 ? (- 10 9 ) 2 -4(- 5 3 ) = 16 5 9 ；