Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）= -g(x)+n 2g(x)+m 是奇函数．（

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）= -g(x)+n 2g(x)+m 是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t 2 -2t）+f（2t 2 -k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4， ∴g（x）=2 x ； （2）由（1）知：f（x）= - 2 x +n 2 x+1 +m 是奇函数． 因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即 n-1 2+m =0 ，∴n=1； ∴f（x）= - 2 x +1 2 x+1 +m ，又由f（1）=-f（-1）知 1- 2   4 +m =- 1- 1 2 1 +m ，∴m=2； （3）由（2）知f（x）= - 2 x +1 2 x+1 +2 =- 1 2 + 1 2 x +1 ， 易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数． 又因f（x）是奇函数，从而不等式： f（t 2 -2t）+f（2t 2 -k）＜0等价于f（t 2 -2t）＜-f（2t 2 -k）=f（k-2t 2 ）， 因f（x）为减函数，由上式推得：t 2 -2t＞k-2t 2 ， 即对一切t∈R有：3t 2 -2t-k＞0， 从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜ - 1 3 ．