Question

如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2

如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠BQM=60°．若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？（只判断，不用证明）（3）若将题中的条件“点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，你能求得∠BQM的度数吗？试试看．



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Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；

（2）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠ABM=∠BCN=60°，AB=BC，又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°；

（3）如图所示，


由题中条件可得Rt△ABM≌Rt△CBN，
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=90°．