Question

△ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①S=12a2sinBsinCsinA；②若2cosBsinA=s

△ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①S=12a2sinBsinCsinA；②若2cosBsinA=sinC，则△ABC是等腰直角三角形；③sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC；④（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B）则△ABC是等腰或直角三角形．其中正确的命题有______．

Answer 1

对于①，△ABC中，∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=

asinB

sinA

，
∴面积S=

1

2

absinC=

1

2

a?

asinB

sinA

?sinC=

1

2

a²

sinBsinC

sinA

，∴命题①正确；
对于②，△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosBsinA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0，∴A=B，∴△ABC是等腰三角形；∴命题②错误；
对于③，△ABC中，由余弦定理得c²=a²+b²-2ab?cosC，
由正弦定理得sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，∴命题③正确；
对于④，△ABC中，∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴a²[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即  a²[sin（A+B）-sin（A-B）]=b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
∴2a²cosA?sinB=2b²sinAcosB，
由正弦定理得 2sin²AcosA?sinB=2sin²BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B；
∴sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）?sin（A-B）=0；
∴A=B，或A+B=90°，∴△ABC是等腰或直角三角形；∴命题④正确．
综上，正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．