Question

已知椭圆C：x24+y23=1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B

已知椭圆C：x24+y23=1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（　　）A．4B．8C．12D．16

Answer 1

设MN的中点为D，椭圆C的左右焦点分别为F₁，F₂，如图，连接DF₁，DF₂，∵F₁是MA的中点，D是MN的中点，∴F₁D是△MAN的中位线；
∴|DF1|＝

1

2

|AN|，同理|DF2|＝

1

2

|BN|；
∴|AN|+|BN|=2（|DF₁|+|DF₂|），∵D在椭圆上，∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
|DF₁|+|DF₂|=4，∴|AN|+|BN|=8．
故选：B．